BLOQUE 2: Funciones (1º ESO)
Contenidos
- Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
- El concepto de función: Variable dependiente e independiente. Formas de presentación (lenguaje habitual, tabla, gráfica, fórmula).
- Funciones de proporcionalidad directa. Representación.
Criterios de evaluación (1º ESO) (CMCT)
- Crit.MA.4.1. Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas.
- Crit.MA.4.2. Manejar las distintas formas de presentar una función: lenguaje habitual, tabla numérica, gráfica y ecuación, pasando de unas formas a otras y eligiendo la mejor de ellas en función del contexto.
- Crit.MA.4.3. Comprender el concepto de función. Reconocer, interpretar y analizar las gráficas funcionales.
- Crit.MA.4.4. Reconocer, representar y analizar las funciones de proporcionalidad directa, utilizándolas para resolver problemas.
BLOQUE 2: Funciones (2º ESO)
Contenidos
- Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
- El concepto de función: Variable dependiente e independiente. Formas de presentación (lenguaje habitual, tabla, gráfica, fórmula). Crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. Análisis y comparación de gráficas.
- Funciones lineales. Cálculo, interpretación e identificación de la pendiente de la recta. Representaciones de la recta a partir de la ecuación y obtención de la ecuación a partir de una recta.
- Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas
Crit.MA.4.1 (2º ESO)
Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas (CMCT)
- Est.MA.4.1.1. Localiza puntos en el plano a partir de sus coordenadas y nombra puntos del plano escribiendo sus coordenadas.
Crit.MA.4.2 (2º ESO)
Manejar las distintas formas de presentar una función: lenguaje habitual, tabla numérica, gráfica y ecuación, pasando de unas formas a otras y eligiendo la mejor de ellas en función del contexto.
- Est.MA.4.2.1. Pasa de unas formas de representación de una función a otras y elige la más adecuada en función del contexto.
Crit.MA.4.3 (2º ESO)
Crit.MA.4.3. Comprender el concepto de función. Reconocer, interpretar y analizar las gráficas funcionales.
- Est.MA.4.3.1. Reconoce si una gráfica representa o no una función.
BLOQUE 2: Funciones (3º ESO Ac.)
Contenidos
- Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.
- Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente.
- Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y enunciados.
- Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
- Expresiones de la ecuación de la recta.
- Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situaciones de la vida cotidiana.
Crit.MAAC.4.1 (3º ESO Ac.)
Conocer los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica. CMCT.
- Est.MAAC.4.1.1. Interpreta el comportamiento de una función dada gráficamente y asocia enunciados de problemas contextualizados a gráficas.
- Est.MAAC.4.1.2. Identifica las características más relevantes de una gráfica interpretándolas dentro de su contexto.
- Est.MAAC.4.1.3. Construye una gráfica a partir de un enunciado contextualizado describiendo el fenómeno expuesto.
- Est.MAAC.4.1.4. Asocia razonadamente expresiones analíticas a funciones dadas gráficamente.
Crit.MAAC.4.2 (3º ESO Ac.)
Identificar relaciones de la vida cotidiana y de otras materias que pueden modelizarse mediante una función lineal valorando la utilidad de la descripción de este modelo y de sus parámetros para describir el fenómeno analizado. CMCT-CIEE.
- Est.MAAC.4.2.1. Determina las diferentes formas de expresión de la ecuación de la recta a partir de una dada (Ecuación punto pendiente, general, explícita y por dos puntos), identifica puntos de corte y pendiente, y la representa gráficamente.
- Est.MAAC.4.2.2. Obtiene la expresión analítica de la función lineal asociada a un enunciado y la representa.
- Est.MAAC.4.2.3. Formula conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica.
Crit.MAAC.4.3 (3º ESO Ac.)
Reconocer situaciones de relación funcional que necesitan ser descritas mediante funciones cuadráticas, calculando sus parámetros y características. CMCT-CD.
- Est.MAAC.4.3.1. Calcula los elementos característicos de una función polinómica de grado dos y la representa gráficamente.
- Est.MAAC.4.3.2. Identifica y describe situaciones de la vida cotidiana que puedan ser modelizadas mediante funciones cuadráticas, las estudia y las representa utilizando medios tecnológicos cuando sea necesario.
BLOQUE 2: Funciones (4º ESO Ac.)
Contenidos
- Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica.
- Análisis de resultados.
- La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.
- Reconocimiento de otros modelos funcionales: aplicaciones a contextos y situaciones reales.
Crit.MAAC.4.1 (4º ESO Ac.)
Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. CMCT-CCL.
- Est.MAAC.4.1.1. Identifica y explica relaciones entre magnitudes que pueden ser descritas mediante una relación funcional y asocia las gráficas con sus correspondientes expresiones algebraicas
- Est.MAAC.4.1.2. Explica y representa gráficamente el modelo de relación entre dos magnitudes para los casos de relación lineal, cuadrática, proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica, empleando medios tecnológicos, si es preciso.
Crit.MAAC.4.1 (4º ESO Ac.)
- Est.MAAC.4.1.3. Identifica, estima o calcula parámetros característicos de funciones elementales.
- Est.MAAC.4.1.4. Expresa razonadamente conclusiones sobre un fenómeno a partir del comportamiento de una gráfica o de los valores de una tabla.
- Est.MAAC.4.1.5. Analiza el crecimiento o decrecimiento de una función mediante la tasa de variación media calculada a partir de la expresión algebraica, una tabla de valores o de la propia gráfica.
- Est.MAAC.4.1.6. Interpreta situaciones reales que responden a funciones sencillas: lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, definidas a trozos y exponenciales y logarítmicas.
Crit.MAAC.4.2 (4º ESO Ac.)
Analizar información proporcionada a partir de tablas y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situaciones reales obteniendo información sobre su comportamiento, evolución y posibles resultados finales. CMCT-CD-CAA.
- Est.MAAC.4.2.1. Interpreta críticamente datos de tablas y gráficos sobre diversas situaciones reales.
- Est.MAAC.4.2.2. Representa datos mediante tablas y gráficos utilizando ejes y unidades adecuadas.
Crit.MAAC.4.2 (4º ESO Ac.)
- Est.MAAC.4.2.3. Describe las características más importantes que se extraen de una gráfica señalando los valores puntuales o intervalos de la variable que las determinan utilizando tanto lápiz y papel como medios tecnológicos.
- Est.MAAC.4.2.4. Relaciona distintas tablas de valores y sus gráficas correspondientes.
BLOQUE 2: Funciones (3º ESO Ap)
Contenidos
- Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.
- Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente.
- Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional mediante tablas y enunciados.
- Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
- Expresiones de la ecuación de la recta.
- Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situaciones de la vida cotidiana.
Cri.MAAP.4.1 (3º ESO Ap)
Conocer los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica. CMCT-CSC.
- Est.MAAP.4.1.1. Interpreta el comportamiento de una función dada gráficamente y asocia enunciados de problemas contextualizados a gráficas.
- Est.MAAP.4.1.2. Identifica las características más relevantes de una gráfica, interpretándolas dentro de su contexto.
- Est.MAAP.4.1.3. Construye una gráfica a partir de un enunciado contextualizado describiendo el fenómeno expuesto.
- Est.MAAP.4.1.4. Asocia razonadamente expresiones analíticas sencillas a funciones dadas gráficamente.
Cri.MAAP.4.2 (3º ESO Ap)
Identificar relaciones de la vida cotidiana y de otras materias que pueden modelizarse mediante una función lineal valorando la utilidad de la descripción de este modelo y de sus parámetros para describir el fenómeno analizado. CMCT.
- Est.MAAP.4.2.1. Determina las diferentes formas de expresión de la ecuación de la recta a partir de una dada (ecuación punto-pendiente, general, explícita y por dos puntos) e identifica puntos de corte y pendiente, y las representa gráficamente.
- Est.MAAP.4.2.2. Obtiene la expresión analítica de la función lineal asociada a un enunciado y la representa.
Cri.MAAP.4.3 (3º ESO Ap)
Reconocer situaciones de relación funcional que necesitan ser descritas mediante funciones cuadráticas, calculando sus parámetros y características. CMCT-CD-CAA.
- Est.MAAP.4.3.1. Representa gráficamente una función polinómica de grado dos y describe sus características.
- Est.MAAP.4.3.2. Identifica y describe situaciones cotidianas que pueden ser modelizadas mediante funciones cuadráticas, las estudia y las representa utilizando medios tecnológicos cuando sea necesario.
BLOQUE 2: Funciones (4º ESO Ap)
Contenidos
- Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica.
- Estudios de otros modelos funcionales y descripción de sus características, usando el lenguaje matemático apropiado. Aplicación en contextos reales.
- La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.
Crit.MAAP.4.1 (4º ESO Ap)
Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas. Aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica.
- Est.MAAP.4.1.1. Est.MAAP.4.1.2 Identifica y explica relaciones entre magnitudes que pueden ser descritas mediante una relación funcional (lineal, cuadrática, proporcionalidad inversa y exponencial), asociando las gráficas con sus correspondientes expresiones algebraicas.
Crit.MAAP.4.1 (4º ESO Ap)
- Est.MAAP.4.1.3. Identifica, estima o calcula elementos característicos de estas funciones (cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad).
- Est.MAAP.4.1.4. Expresa razonadamente conclusiones sobre un fenómeno, a partir de la gráfica que lo describe o de una tabla de valores.
Crit.MAAP.4.1 (4º ESO Ap)
- Est.MAAP.4.1.5. Analiza el crecimiento o decrecimiento de una función mediante la tasa de variación media, calculada a partir de la expresión algebraica, una tabla de valores o de la propia gráfica.
- Est.MAAP.4.1.6. Interpreta situaciones reales que responden a funciones sencillas: lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa y exponenciales.
Cri.MAAP.4.2 (4º ESO Ap)
Analizar información proporcionada a partir de tablas y gráficas que representan relaciones funcionales asociadas a situaciones reales, obteniendo información sobre su comportamiento, evolución y posibles resultados finales.
- Est.MAAP.4.2.1. Interpreta críticamente datos de tablas y gráficos sobre diversas situaciones reales.
- Est.MAAP.4.2.2. Representa datos mediante tablas y gráficos utilizando ejes y unidades adecuadas.
Cri.MAAP.4.2 (4º ESO Ap)
- Est.MAAP.4.2.3. Describe las características más importantes que se extraen de una gráfica utilizando tanto lápiz y papel como medios informáticos.
- Est.MAAP.4.2.4. Relaciona distintas tablas de valores y sus gráficas correspondientes en casos sencillos, justificando y argumentando la decisión.
- Est.MAAP.4.2.5. Utiliza con destreza elementos tecnológicos específicos para dibujar gráficas.
Actividades y recursos: el libro del Shell Centre
El lenguaje de funciones y gráficas
Estos materiales sirven para ayudar a los alumnos a desarrollar fluidez en la utilización del lenguaje matemático de gráficas, tablas y álgebra de cara a describir y analizar situaciones del mundo real.
Ambiente de clase
Las tareas planteadas y la forma de hacer matemáticas contribuyen a crear un ambiente en clase que anime a una discusión meditada en la que los alumnos intenten comprender o comunicar información.
Estructura del libro
- Unidad A: se aborda la interpretación y bosquejo de los gráficas. Se centra en el estudio cualitativo de las mismas basado en la interpretación de sus características globales.
- Unidad B: se descubren y exploran situaciones realistas, centrándose en la búsqueda de patrones y su expresión en forma verbal, gráfica y finalmente algebraica.
- Modelos de preguntas de examen.
- Una colección de problemas (problemas y gráficas y otros datos para interpretar).
- Materiales de apoyo. Sobre la forma de trabajar o la evaluación.
Unidad A
Lo de los niveles es muy, pero que muy orientativo.
| A1. Interpretación de puntos. |
1º ESO |
| A2. ¿Son las gráficas solamente dibujos? |
1º ESO |
| A3. Dibujo de gráficas a partir de textos. |
1º-2º ESO |
| A4. Diseño de gráficas a partir de dibujos. |
1º-2º ESO |
| A5. Mirando gradientes. |
3º ESO |
Unidad B
| B1. Realización de gráficas a partir de tablas. |
2º ESO |
| B2. Descubriendo funciones en situaciones. |
2º-3º ESO |
| B3. Funciones exponenciales. |
4º ESO |
| B4. Una función de varias variables. |
4º ESO |
Abordando un problema en grupo: un paseo por el campo
Eligiendo diferentes etiquetas para los ejes, la gráfica puede representar muchos paseos diferentes.
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Actividad: pensemos en cinco diferentes paseos por el campo.
Abordando un problema en grupo: paseos por el campo
Las etiquetas podrían ser:
- «Distancia a casa» para el eje vertical y «tiempo transcurrido» para el eje horizontal.
- «Nivel de ansiedad» frente a «hambre».
Para cada idea, copiad la gráfica superior, etiquetad los ejes, poned un nombre al paseo y escribid una corta descripción del paseo por el campo concreto que está ilustrando la gráfica.
Abordando un problema en grupo
El Caballo y Los Perros
Salimos de casa y caminamos tranquilamente durante un rato. Al final llegamos a «El Caballo y Los Perros»; estaba bien para sentarse en el jardín y disfrutar de un bien ganado descanso y unas jarras de cerveza. Pasó el tiempo y de repente nos dimos cuenta de que debíamos apresurarnos si queríamos llegar a casa antes del anochecer: estábamos preocupados de estar mucho tiempo fuera a causa de los niños.
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Abordando un problema en grupo
El Sendero Desconocido
Teníamos que seguir una ruta bastante difícil y no era fácil encontrar los mojones. Estábamos cada vez más preocupados, pero al cabo de un rato Claude descubrió que la lejana colina debía ser Beacon’s Hang y pensamos que estábamos en la dirección correcta. El camino se fue haciendo más familiar y estuvimos seguros de estar en el sendero correcto. Desgraciadamente, habíamos olvidado traer nuestros bocadillos.
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Abordando un problema en grupo: actividad 2
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Abordando un problema en grupo: actividad final
- ¿Hubieras preferido pensar sobre las actividades individualmente antes de discutirlas con tu grupo?
- ¿Cómo se ha organizado el grupo…
- … para registrar sus decisiones?
- … para preparar su presentación a los otros grupos?
Abordando un problema en grupo: actividad final
- ¿Qué papel jugó cada miembro del grupo en la discusión? ¿Hubo alguien que…
- …dominó?
- … trabajó independientemente de los demás?
- … hizo un montón de preguntas?
- … ofreció sugerencias?
- … recogió o rebatió sugerencias ofrecidas por los demás?
- ¿Cómo se organizó la sesión de puesta en común? ¿Cada grupo tuvo la oportunidad de explicar sus hallazgos?
Guía para las discusiones de aula
Ser fundamentalmente un moderador o facilitador que:
— Dirige el curso de la discusión y da a todos la oportunidad de participar. — No interrumpe ni permite a los demás interrumpir al que habla. — Valora todas las opiniones y no impone su propio punto de vista. — Ayuda a los alumnos a clarificar sus ideas en sus propios términos.
Guía para las discusiones de aula
Ser ocasionalmente un interrogador o provocador que:
— Introduce una nueva idea cuando la discusión decae. — Investiga un punto de vista. — Hace de abogado del diablo. — Enfoca a un concepto importante. — Evita realizar preguntas múltiples, dirigistas, retóricas o cerradas, que sólo requieran respuestas monosilábicas.
Guía para las discusiones de aula
No ser nunca un juez o evaluador que:
— Valora todas las respuestas con un «sí», «bien», «interesante », etc. A menudo esto dificulta que a los demás aporten ideas alternativas, y predispone más hacia resultados exteriormente aceptables que hacia un diálogo exploratorio. — Resume prematuramente.
Interpretación de puntos
¿Quién está representado por cada punto del diagrama?
Interpretación de puntos
En el escaparate de una papelería hay cinco cajas de rotuladores, A, B, C, D y E de varios tamaños (12, 24 y 36 rotuladores) y precios (2 €, 4 € y 6 €). La gráfica describe las características de las cajas:
- ¿Qué caja sale a mejor precio?
- ¿Qué caja sale a peor precio?
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Interpretación de puntos
Cada una de estas cuatro figuras tiene un área de 36 unidades cuadradas.
- Marca 4 puntos en el gráfico inferior con las letras A, B, C y D.
- ¿Puedes dibujar una quinta figura de 36 unidades cuadradas que corresponda al 5." punto? Explícalo.
- Dibuja un diagrama que represente a todos los rectángulos con un área de 36 unidades cuadradas.
- ¿Qué sucede si incluyes en tu gráfica todas las figuras con el mismo área?
¿Son las gráficas solamente dibujos?
Gráficas a partir de textos
Gráficas a partir de dibujos
Gráficas a partir de tablas
Evaluación
Las preguntas de examen pretenden evaluar y reconocer los siguientes procesos:
- Interpretación de representaciones matemáticas mediante palabras o dibujos.
- Traducción de textos o dibujos a representaciones matemáticas.
- Traducción entre representaciones matemáticas.
- Descripción de relaciones funcionales mediante palabras o dibujos.
- Combinación de información presentada en varias formas, y extracción de inferencias donde corresponda.
- Uso de representaciones matemáticas para resolver problemas surgidos de situaciones realistas.
- Descripción o explicación de los métodos utilizados y de los resultados obtenidos.
Actividad de calificación
Una actividad de calificación 1. Considera las preguntas «Camping», «Yendo a la escuela» y «Carrera de vallas» e intenta decidir qué proceso se está examinando en cada parte del problema. Luego rellena la tabla de procesos.
Actividad de calificación
Considera ahora el problema del «Camping».
- Decide cuántos puntos deberían asignarse a cada parte. (La puntuación total para esta pregunta es de 15 puntos).
- Discútelo con tus colegas.
- ¿Discrepáis en el peso de cada parte? Intentad resolver las discrepancias.
Haced lo mismo para «Yendo a la escuela» (que también vale 15 puntos).
La carrera de vallas
- Es difícil diseñar un esquema de calificación para «La carrera de vallas» y la estrategia anterior no es aplicable a esta pregunta. Las respuestas de los alumnos pueden ser extremadamente variadas.
- Responde tú mismo al problema y luego discute qué puntos consideras que son más importantes de mencionar. Haz una lista. Puede ser algo larga —y solo hay 8 puntos para esta pregunta; por lo tanto, intenta decidir qué factores consideras de mayor importancia.
Evaluación de la carrera de vallas
A continuación, se dan seis textos de alumnos para esta pregunta. Léelos todos una vez antes de intentar evaluarlos. Sobre la base de tu impresión general ordénalos de mejor a peor. (Todavía no discutas con tus compañeros este orden.)
- Escribe tu clasificación.
- A continuación, compara la lista de factores que consideras importantes con las listas elaboradas por tus compañeros y con el esquema de calificación propuesto en el libro.
Esquema de calificación propuesto en el libro para la carrera
Interpretación mediante textos de una representación matemática
- 1 punto por «C toma el primer puesto».
- 1 punto por «C deja de correr».
- 1 punto por «B supera a A».
- 1 punto por «B gana».
2 puntos por cualesquiera cuatro de los siguientes:
«A y B pasan a C» «C empieza a correr de nuevo» «C corre a menos velocidad» «A frena» o «B acelera» «A termina el segundo» o «C termina el último».
Puntuación parcial:
- 1 punto por dos o tres cualesquiera de los puntos mencionados.
- 2 puntos por un comentario animado que mencione las vallas.
Puntuación parcial: - 1 punto por un comentario animado que no mencione las vallas o por un informe que mencione las vallas.
En total se pueden conceder 8 puntos para esta cuestión.
Lista de referencias
Beltrán-Pellicer, P., Giacomone, B., & Burgos, M. (2018). Online educational videos according to specific didactics: the case of mathematics / Los vídeos educativos en línea desde las didácticas específicas: el caso de las matemáticas. Cultura y Educación, 30(4), 633-662. doi: 10.1080/11356405.2018.1524651. Enlace
Beltrán-Pellicer, P., Godino, J. D. (2019). An onto-semiotic approach to the analysis of the affective domain in mathematics education. Cambridge Journal of Education, 1-20. DOI: 10.1080/0305764X.2019.1623175. Enlace
Créditos
Compartir el conocimiento de forma libre es una buena práctica.
En estas diapositivas se han utilizado materiales disponibles en abierto y se han citado las fuentes correspondientes. El contenido de la presentación está publicado con licencia Creative Common CC-BY-SA-4.0, lo que quiere decir que puedes compartirla y adaptarla, citándonos (Pablo Beltrán-Pellicer y José Mª Muñoz-Escolano) y poniendo un enlace a https://pbeltran.github.io/unaempresadocente-videos/.
Siéntete libre de trabajar con este material y de contactar conmigo para compartir tus reflexiones.